Trải qua 15 năm kinh nghiệm, mình muốn chia sẻ với các bạn về dạng toán “thiết diện qua trục của hình nón” hay còn gọi là bài toán “thiết diện hình nón” nói chung. Đây là một dạng toán quan trọng cho các bạn đang hướng tới mục tiêu 8+ hay 9+ môn Toán. Bài viết này sẽ giới thiệu phương pháp và phân loại chi tiết về các dạng toán này để giúp các bạn dễ dàng học tập.
Thiết diện qua trục của hình nón là gì
Đầu tiên, chúng ta sẽ cùng tìm hiểu định nghĩa của thiết diện qua trục của một hình nón. Cho một hình nón có đỉnh là S. Một mặt phẳng đi qua đỉnh S và vuông góc với mặt đáy của hình nón sẽ cắt khối nón tạo thành một hình tam giác. Hình tam giác này được gọi là thiết diện qua trục của hình nón (xem hình vẽ).
Rõ ràng ta có thể thấy thiết diện qua trục của khối nón là một tam giác cân tại đỉnh S. Góc tại S chính là góc ở đỉnh của hình trụ. Đường cao của thiết diện tương ứng với đỉnh S chính là chiều cao của hình nón. Hai cạnh bên của thiết diện là hai đường sinh.
Dạng toán về thiết diện qua trục của khối nón
Dựa trên định nghĩa trên, ta có thể xoay chuyển bài toán về thiết diện qua trục của khối nón theo hai hướng sau:
- Cho thông tin về khối nón và tính diện tích hoặc thông tin khác của thiết diện.
- Cho thông tin về thiết diện và tính các thông tin của khối nón.
Dưới đây là một số ví dụ để các bạn theo dõi và luyện tập:
Ví dụ 1: Tính diện tích thiết diện qua trục của khối nón
Cho khối nón có đường kính đáy bằng 6 và độ dài đường sinh bằng 5. Hãy tính diện tích thiết diện qua trục của khối nón này.
Lời giải và hướng dẫn:
Với thông tin đã cho, ta có thể dễ dàng tính được chiều cao của khối nón thông qua định lý Pytago. Chiều cao của khối nón là: 5²-3²=4.
Vậy diện tích của thiết diện là: S=1/264=12 (đơn vị diện tích).
Ví dụ 2: Tính thể tích khối trụ từ thiết diện qua trục
Cho khối nón có thiết diện qua trục là tam giác vuông cân với cạnh góc vuông bằng 6. Hãy tính thể tích khối trụ.
Lời giải và hướng dẫn:
Đây là một bài toán cho thông tin của thiết diện qua trục và yêu cầu tính một thông tin của khối nón.
Từ thông tin đã cho, ta suy ra được bán kính đáy của khối nón là 6/2=3. Và do đó, ta có thể tính thể tích khối trụ bằng công thức: V=1/3πr²*h, với r là bán kính đáy và h là chiều cao của khối trụ.
Hãy theo dõi các bài toán tiếp theo trên blog để tìm hiểu thêm về thiết diện qua trục của hình trụ.
Bộ đề thi Online các dạng có giải chi tiết: Mặt Nón – Mặt Trụ – Mặt Cầu
Dạng toán về thiết diện không qua trục của hình nón
Ngoài dạng toán về thiết diện qua trục, chúng ta cũng cần tìm hiểu về dạng toán thiết diện không qua trục của hình nón. Để làm tốt dạng toán này, các bạn cần nắm chắc mối liên hệ giữa các đại lượng như: chiều cao nón (h), bán kính đáy nón (r), độ dài đường sinh nón (l), độ dài dây của đáy (2m), khoảng cách từ tâm của đáy đến dây (n), và khoảng cách từ tâm của đáy đến thiết diện (k). Hãy xem hình minh họa dưới đây.
Danh sách công thức liên quan đến các đại lượng trên cũng được cung cấp để các bạn có thể nắm chắc và áp dụng trong giải quyết bài toán.
Dễ thấy rằng, các công thức trên có thể dễ dàng áp dụng thông qua định lý Pytago và các hệ thức lượng trong tam giác vuông.
Về tính chất của thiết diện, chúng ta cũng có thể dễ dàng nhận thấy đây là một tam giác cân. Đối với một số bài toán đặc biệt, ta có thể suy ra tam giác đó là tam giác đều khi góc ở đỉnh bằng 60 độ.
Cùng nhau xem các ví dụ bên dưới để hiểu rõ hơn:
Ví dụ 1: Tính khoảng cách từ tâm đường tròn đáy đến mặt phẳng
Cho khối nón có bán kính đáy bằng 3 và chiều cao bằng 4. Một mặt phẳng (P) đi qua đỉnh của khối nón cắt đường tròn đáy theo dây cung có độ dài bằng 2. Hãy tính khoảng cách từ tâm của đường tròn đáy đến mặt phẳng (P).
Lời giải:
Ví dụ 2: Tính diện tích tam giác
Cho hình nón có đỉnh là S và đáy là đường tròn tâm O, bán kính bằng 3. Một mặt phẳng đi qua đỉnh S và tạo góc 60 độ với đáy của hình nón cắt đường tròn đáy tại hai điểm A và B. Biết SO=3. Hãy tính diện tích tam giác SAB.
Lời giải:
Trên đây là một số dạng toán liên quan đến hình nón và khối nón. Hy vọng rằng các bạn đã hiểu và có thể áp dụng để giải quyết các bài toán tương tự. Cảm ơn các bạn đã đọc bài viết này và chúc các bạn học tập tốt!
