Hình thang cân là một khái niệm quan trọng trong toán học. Trong bài viết này, chúng ta sẽ tìm hiểu về hình thang cân, cách nhận diện và chứng minh nó. Hãy cùng khám phá!
Định nghĩa hình thang cân là gì?
Khái niệm hình thang cân
Hình thang cân là một hình thang có hai góc kề và một đáy bằng nhau. Điều này có nghĩa là hai cạnh bên của hình thang cân có độ dài bằng nhau.
Tính chất của hình thang cân
- Định lý 1: Trong hình thang cân, hai cạnh bên bằng nhau.
- Định lý 2: Trong hình thang cân, hai đường chéo bằng nhau.
- Định lý 3: Nếu một hình thang có hai đường chéo bằng nhau, thì nó là hình thang cân.
Dấu hiệu nhận biết hình thang cân
Có một số dấu hiệu giúp chúng ta nhận biết một hình thang cân:
- Hình thang có hai góc kề một đáy bằng nhau là hình thang cân.
- Hình thang có hai đường chéo bằng nhau là hình thang cân.
Lưu ý: Mặc dù hình thang có hai cạnh bên bằng nhau, nhưng không phải tất cả các hình thang có hai cạnh bên bằng nhau đều là hình thang cân.
Phương pháp chứng minh hình thang cân
Phương pháp 1
Chúng ta có thể chứng minh một hình thang có hai góc kề một cạnh đáy bằng nhau là hình thang cân.
Phương pháp 2
Chúng ta có thể chứng minh một hình thang có hai đường chéo bằng nhau là hình thang cân.
Cách chứng minh một tứ giác là hình thang cân
Để chứng minh một tứ giác là hình thang cân, chúng ta có thể làm theo các bước sau:
- Chứng minh tứ giác đó là hình thang.
- Chứng minh tứ giác có hai cạnh song song với nhau, sử dụng các phương pháp chứng minh song song như hai góc đồng vị bằng nhau, hai góc so le trong bằng nhau, hai góc trong cùng phía bù nhau hoặc định lý từ góc vuông đến góc song song.
- Chứng minh hình thang đó là hình thang cân theo hai phương pháp ở trên.
Bài tập hình thang cân và cách giải
Ví dụ 1: Cho hình thang cân ABCD ( AB // CD, AB < CD). Kẻ đường cao AE, BF của hình thang. Chứng minh rằng DE = CF.
Cách giải:
Ta xét hai tam giác vuông AED và BFC.
- Ta có: AD = BC (giả thiết)
- Ta có: ∠D = ∠C (giả thiết)
- Từ đó, ta suy ra: ΔAED = ΔBFC (cạnh huyền – góc nhọn)
- Do đó, DE = CF.
Ví dụ 2: Cho hình thang cân ABCD (AB // CD), E là giao điểm của hai đường chéo. Chứng minh rằng EA = EB, EC = ED.
Cách giải:
- Do ABCD là hình thang cân, ta có:
- AD = BC
- AC = BD
- Xét ΔADC và ΔBDC, ta được:
- DC chung
- AD = BC
- AC = BD
- Nên ΔADC = ΔBDC (c.c.c)
- Từ đó suy ra: ∠DCA = ∠CDB
- Từ đó suy ra: ΔDEC cân tại E
- Nên EC = ED (đpcm)
Chứng minh tương tự, ta có EA = EB.
Ví dụ 3: Cho tam giác ABC cân tại A, các đường phân giác BE, CF. Chứng minh rằng BFEC là hình thang cân có đáy nhỏ bằng cạnh bên.
Cách giải:
- Xét ΔAEB và ΔAFC, ta có:
- AB = AC (do ΔABC cân tại A)
- ∠ABE = 1/2 ∠ABC = 1/2 ∠ACB = ∠ACF
- ∠BAC chung
- Từ đó suy ra: ΔAEB = ΔAFC (g.c.g)
- Từ đó suy ra: AE = AF
- Từ đó suy ra: ΔAEF cân tại A
- Từ đó suy ra: ∠AFE = (180° – ∠BAC)
- Trong tam giác ABC, ta có:
- ∠ABC = (180° – ∠BAC)
- Từ đó suy ra: ∠AFE = ∠ABC ⇒ FE // BC
- Vậy tứ giác BFEC là hình thang.
Trên đây là những kiến thức liên quan đến chủ đề chứng minh hình thang cân. Hy vọng bài viết đã cung cấp cho bạn kiến thức bổ ích và hữu ích cho quá trình học tập của bạn. Chúc bạn luôn học tốt!
Xem chi tiết qua bài giảng dưới đây: Nguồn: www.youtube.com
Xem thêm >>> Tiên đề Ơ cơ lít là gì? Tìm hiểu Tiên đề Ơclit về đường thẳng song song
