1. Hình lăng trụ là gì?
Định nghĩa hình lăng trụ là một đa giác có mặt bên là hình bình hành và hai mặt đáy song song bằng nhau.
1.1. Hình lăng trụ tam giác đều
Hình lăng trụ tam giác đều là một hình trụ có mặt đáy là tam giác đều.
1.2. Hình lăng trụ tứ giác đều
Hình lăng trụ tứ giác đều là một hình trụ có mặt đáy là hình tứ giác đều.
2. Các dạng hình lăng trụ
- Lăng trụ đứng: là hình lăng trụ có cạnh bên vuông góc với phần đáy. Độ dài cạnh bên hay chính là chiều cao của hình lăng trụ. Khi đó, các mặt bên của hình lăng trụ đứng chính là các hình chữ nhật.
- Lăng trụ đều: là hình lăng trụ đứng có đáy là đa giác đều. Các mặt bên là các hình chữ nhật bằng nhau.
- Hình hộp: là hình lăng trụ có đáy chính là hình bình hành.
- Hình hộp đứng: là hình lăng trụ đứng với đáy chính là hình bình hành.
- Hình hộp chữ nhật: là hình hộp đứng với đáy là hình chữ nhật.
- Hình lăng trụ đứng có đáy là hình vuông, các mặt bên là hình vuông thì được gọi là hình lập phương.
3. Công thức tính thể tích khối lăng trụ đứng
Thể tích khối lăng trụ bằng diện tích của mặt đáy nhân với khoảng cách giữa hai mặt đáy hoặc là chiều cao.
Công thức tính thể tích khối lăng trụ đứng là: V = B.h
Trong đó:
- B là diện tích đáy (đơn vị m^2)
- h là chiều cao khối lăng trụ (đơn vị m)
- V là thể tích khối lăng trụ (đơn vị m^3)
Xem thêm: Công thức tính thể tích khối lăng trụ tam giác đều và bài tập
4. Một số bài tập tính thể tích khối lăng trụ và phương pháp giải
Bài 1: Cho hình lăng trụ đứng ABC.A′B′C có đáy là tam giác đều cạnh a. Biết mặt phẳng (A’BC) tạo với đáy một góc 60°. Thể tích khối lăng trụ đã cho là:
Giải:
Diện tích đáy của lăng trụ là S_{ABC} = (a^2√3)/4.
Dựng đường cao AH vuông góc với BC, có BC vuông góc với (A’HA).
Do đó: góc (A’BC);(ABC) = góc A’HA = 60°.
Ta có: AH = (a√3)/2. Do đó, A’H = AH.tan60° = (3a)/2.
Thể tích khối lăng trụ là V = S_{ABC}.A’A = (3a^3√3)/8.
Bài 2: Cho hình lăng trụ đứng ABC.A’B’C’ có đáy là tam giác đều cạnh a, đường chéo của mặt bên ABB’A’ là AB’ = a√2. Thể tích của khối lăng trụ ABC.A’B’C’ đó là:
Giải:
Ta có tam giác ABB’ có BB’ = √(AB’^2 – AB^2) = a.
Thể tích khối lăng trụ ABC.A’B’C’ là: V = S_{ABC}.BB’ = (a^2√3)/4.a = (a^3√3)/4.
Bài 3: (VDC) Cho lăng trụ xiên tam giác ABC.A’B’C’ có đáy ABC là tam giác đều cạnh a. Hình chiếu của A’ xuống (ABC) là tâm O đường tròn ngoại tiếp với tam giác ABC biết AA’ hợp với đáy (ABC) một góc 60 độ.
a. Chứng minh BB’C’C là hình chữ nhật.
b. Tính thể tích khối lăng trụ.
Giải:
a. Ta có BB’C’C là hình bình hành vì là mặt bên của hình lăng trụ.
H là trung điểm BC, vì tam giác ABC đều nên O nằm trên AH.
Ta có: BC vuông góc AH và BC vuông góc A’O => BC vuông góc (AA’H) => BC vuông góc AA’.
Mà AA’ song song với BB’ => BC vuông góc BB’ => BB’C’C là hình chữ nhật.
b. Tam giác ABC đều => AO = (2/3)AH = (2/3)(a√3/2) = (a√3)/3.
Tam giác AOA’ vuông góc O => A’O = AO.tan60° = a.
V = S_{ABC}.A’O = (a^3√3)/2.
Bài 4: (VDC) Cho hình hộp ABCD.A’B’C’D’ có đáy là hình chữ nhật với AB = √3, AD = √7. Hai mặt bên (ABB’A’) và (ADD’A’) tạo với đáy lần lượt các góc 45° và 60°. Tính thể tích khối hộp nếu biết cạnh bên bằng 1.
Giải:
Ta kẻ AH vuông góc (ABCD), HM vuông góc AB và HN vuông góc AD.
=> AM vuông góc AB và AH vuông góc AD.
=> góc A’MH = 45° và góc A’NH = 60°.
Đặt AH = x.
=> Tam giác A’HN vuông tại N => AH = x/sin60° = 2x/√3.
Tam giác A’HN vuông tại N => AH = √(AA’ – A’N) = √((3 – 4x^2)/3).
Tam giác A’HN vuông tại N => HM = x.cot45° = x.
=> Tứ giác AMHN là hình chữ nhật => AN = HM => √((3 – 4x^2)/3) = x => √(3/7).
Vậy V_{ABCD.A’B’C’D’} = AB.AD.A’H = 3.
Đặc biệt, thầy Phạm Anh Tài đã có bài giảng cực hay về khối lăng trụ như các công thức tính thể tích khối lăng trụ, phương pháp giải bài tập khối lăng trụ nhanh. Cùng VUIHOC tham gia bài giảng của thầy trong video dưới đây nhé!
Ngoài ra các em có thể xem thêm bài giảng về thể tích khối lăng trụ: TẠI ĐÂY
Bài viết trên đã cung cấp đầy đủ công thức tính thể tích khối lăng trụ. Để tham khảo thêm các công thức toán hình 12 và nhiều bài tập về hình học không gian, các em có thể truy cập ngay VUIHOC.vn và đăng ký tài khoản tại đây nhé!
Xem thêm:
- 12 Công thức tính thể tích khối chóp kèm ví dụ cụ thể
- Công thức tính thể tích khối cầu nhanh và chính xác nhất
- Công thức tính thể tích khối trụ tròn xoay và bài tập
- Công thức tính thể tích khối chóp tứ giác đều chi tiết và bài tập
- Công thức tính thể tích khối tròn xoay và bài tập vận dụng
- Công thức tính thể tích khối nón và bài tập
